Công thức cấp số nhân và một số bài tập ví dụ minh họa
Bạn đã biết công thức cấp số nhân chưa? Trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn công thức cấp số nhân và một số bài tập ví dụ minh họa cụ thể nhé.
1. Công thức cấp số nhân
Công thức cấp số nhân:
Công thức cấp số nhân
2. Định nghĩa, tính chất cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn). Trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân
Tính chất của cấp số nhân
Định lí 1: Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u2k = uk-1 . uk+1
Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) với công bội q > 0. Biết u1 = 1, u3 = 3. Hãy tìm u4
Giải:
Theo định lý 1 ta có
u22 = u1.u3
u32 = u2.u4
Từ (1) do u2 > 0 ( vì u1 = 1 >0 và q > 0)
Từ đây và (2) ta được
3. Một số ví dụ minh họa cụ thể
Ví dụ 1: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số hạng sau thành lập cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36. Tìm số hạng thứ tư.
75
95
70
60
Hướng dẫn giải:
Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d.
* Theo đề bài có a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
=> a + c = 2b (1)
* Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
=> bd = c2 ( 2)
* Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
* Từ (4) có: b= 36- c thay vào (1) được:
a+ c = 72- 2c ⇔ a = 72- 3c, thay a vào (3) được:
d = 37- 72 + 3c ⇔ d = - 35 + 3c.
* Thay b, d vào (2) được:
Với c = 20 => b = 16,a = 12,d = 95.
Với 
Chọn B.
Ví dụ 2: Ba số khác nhau có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân hoặc là các số hạng thứ 2 thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?
20
18
19
21
Hướng dẫn giải:
Gọi u1; u2; u3 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, với công bội là q.
Theo đề bài u1 = a2, u2 = a9 , u3 = a44 với a2, a9, a44 là các số hạng của một cấp số cộng với công sai d.
Ta có
Lấy phương trình (1) – (2) được:
Vì u1; u2; u3 khác nhau nên chọn q= 5..
Theo đề bài có:
Mà q = 5 => u1 = 7
Suy ra u2 = u1q = 35.
Ta có
Theo đề bài ta có:Sn = 820 nên
Kết luận phải lấy 20 số hạng đầu tiên để tổng của chúng bằng 820.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) thỏa mãn 
141
142
145
146
Hướng dẫn giải:
Ta có
Đặt
=> (vn) là cấp số nhân với 
Suy ra:
Yêu cầu bài toán trở thành:
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 146.
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi 
Hướng dẫn giải:
Ta có
Đặt:
Khi đó ta được dãy mới; là cấp số nhân với : v1 = 6 và q = 2
Chọn D.
Ví dụ 5: Tính các cạnh của 1 hình hộp chữ nhật; biết thể tích của nó là a3 ; diện tích toàn phần là 6a2 và 3 cạnh lập thành cấp số nhân?
Hướng dẫn giải:
Gọi x;y;z là 3 cạnh của hình hộp chữ nhật.
Theo giả thiết ta có:
V=xyz nên
Do đó q = 1
Khi đó 3 cạnh của hình hộp chữ nhật là a;a;a.
Chọn D.
Ví dụ 6. Cho CSN (un) với u1=–12; u7=–32. Tìm q?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN ta có
un=u1qn–1⇒u7=u1.q6⇒q6=64⇒[q=2q=–2
Ví dụ 7. Cho CSN (un) vớiu1=–2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?
Hướng dẫn giải
u2=u1.q=(–2).(–5)=10;u3=u2.q=10.(–5)=–50;u4=u3.q=–50.(–5)=250
Số hạng tổng quát un=u1.qn–1=(–2).(–5)n–1.
Ví dụ 8. Cho CSN (un) với u1=–1; q=–110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?
Hướng dẫn giải
un=u1.qn–1⇒110103=–1.(–110)n–1⇒n–1=103⇒n=104
Trên đây là những chia sẻ của mình về công thức cấp số nhân và một số ví dụ minh họa, cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của mình nhé.
