Dấu hiệu nhận biết hình thoi, Cách chứng minh và bài tập minh hoạ

Bài toán chứng minh hình thoi là một dạng toán xuất hiện trong các bài toán hình học. Để có thể chứng minh một hình là hình thoi, chúng ta cần phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết của một hình thoi.Bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ đến bạn các dấu hiệu nhận biết hình thoi. 

1. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

 

Nếu tứ giác đó có các tính chất sau

 

Hình thoi có 4 dấu hiệu nhận biết, như sau:

 

  • Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

  •  

  • Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau

  •  

  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau

  •  

  • Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

  •  

 

⇒Thì ta kết luận được tứ giác đó là một hình thoi

 

2. Cách chứng minh hình thoi

 

Dựa trên dấu hiệu nhận biết của hình thoi như vừa đã nêu, chúng ta có thể rút ra cơ sở để chứng minh một hình thoi bất kỳ theo 2 cách

 

  • Chứng minh đó là một tứ giác có 4 cách bằng nhau.

  •  

  • Chứng minh hình đó là một hình bình hành. Sau đó, chúng ta chứng minh tiếp được một trong các dấu hiệu sau đây:

  •  

  • Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau

  •  

  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau

  •  

  • Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

  •  

 

Theo một trong hai cách trên là chúng ta đã có thể chứng minh một hình thoi.

 

Ngoài ra chúng ta có thể chứng minh một hình thoi theo các cách như sau:

 

  • Chứng minh được 4 đỉnh của tứ giác đang xét là trung điểm của 4 cạnh của một hình chữ nhật.

  •  

  • Chứng minh được tứ giác có hai đường chéo nhau cũng là đường trung trực của nhau. 

  •  

 

3. Bài tập có đáp án

 

Bài tập 1

 

Cho hình chữ nhật ABCD lấy E, F, G, H là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh các trung điểm của 4 cạnh trong hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

 

dấu hiệu nhận biết hình thoi


 

Lời giải:

 

Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của cạnh MN, và MQ

=> EH là đường trung bình của tam giác ABD

=> EH = ½ BD (1)

Tương tự ta có: EF = 1/2AC, FG = ½ BD, HG = ½ AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3) => EH = EF = HG = GF

=> Tứ giác EFGH là hình thoi có 4 cạnh bằng với nhau.

 

Bài tập 2: 

 

Cho tứ giác ABCD có BD= AC. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là một hình thoi.

 

 

dấu hiệu nhận biết hình thoi

 

Lời giải

Ta có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC

Các dạng bài tập về hình thoi và cách giải

Vì G là trung điểm của DC, H là trung điểm của DA nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

Các dạng bài tập về hình thoi và cách giải

Từ (1) và (2) => Các dạng bài tập về hình thoi và cách giải

=> Tứ giác EFGH là hình bình hành.

Ta lại có G là trung điểm của DC, F là trung điểm của BC nên GF là đường trung bình của tam giác BCD.

Các dạng bài tập về hình thoi và cách giải 

Mà BD = AC

Nên GF = EF

Từ đó nhận thấy hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi nên kết luận được tứ giác EFGH là hình thoi.

 

Bài tập 3: 

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân Các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

 

dấu hiệu nhận biết hình thoi

 

Lời giải:

 

Ta có: AB // CD (gt)

OE ⊥ AB (gt)

⇒ OE ⊥CD

OG ⊥CD(gt)

Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.

BC // AD (gt)

OF ⊥ BC (gt)

⇒ OF ⊥ AD

OH ⊥ AD (gt)

Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)

OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)

OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

 

Hy vọng với bài viết trên, chúng tôi đã cung cấp đến bạn những kiến thức cần thiết về dấu hiệu nhận biết hình thoi cũng như cách chứng minh. Chúc các bạn học tốt!