Bất đẳng thức Cosi: Công thức & Bài tập vận dụng lý thuyết bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi được áp dụng để giải các dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng như tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức đó. Vì thế, nó là một trong những kiến thức quan trọng của môn Toán học, bạn nên nắm vững về bất đẳng thức này. Bài viết dưới đây của Studytienganh sẽ giới thiệu đến bạn những thông tin bổ ích về bất đẳng thức Cosi và một số bài tập vận dụng.

1. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cô-si được bắt nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng  và trung bình nhân của n số thực không âm. Bất đẳng thức này được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Augustin - Louis Cauchy. Bên cạnh tên Cosi, nhiều người gọi là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM - GM.

 

•  Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchy:

 

• Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy:

 

2. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cô-si có hệ quả như sau:

 

Hệ quả 1: Nếu tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau.   Hệ quả 2: Nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này sẽ đạt GTLN nếu 2 số này bằng nhau.

 

 

3. Bất đẳng thức Cosi cho 3 số, 4 số

Khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si, bạn phải xác định được chính xác giá trị của biến bằng bao nhiêu để dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra. Bởi vì đó là giá trị của điểm giao nhau hay còn gọi là điểm rơi. Ngược lại, nếu bạn không xác định được chính xác giá trị đó, bài toán sẽ không được điểm tuyệt đối cũng như bạn có thể xác định sai phương hướng làm bài.

Bất đẳng thức Cô-si đối với 3 số thực không âm:

 

Dấu “=” của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 số thực này bằng nhau:             a  = b = c. a + b + c > hoặc = căn bậc 3 của tích 3 số đó.

 

 

Bất đẳng thức Cô-si đối với 4 số thực không âm: cũng tương tự như đối với 3 số thực không âm. 

 

Dấu “=” xảy ra ⟺ a = b = c = d. a + b + c + d > hoặc = căn bậc 4 của tích 4 số.

 

 

4. Chứng minh bất đẳng thức cosi

Để chứng minh bất đẳng thức Cô-si, ta chia ra các trường hợp sau:

• Khi tất cả các giá trị bằng nhau:

Lúc này, x1 = x2 = … = xn

Tức là tổng của chúng là nx1. Do đó, giá trị trung bình cộng là x1 và tích các số dưới căn bậc 2 là x1n. Khi đó, giá trị trung bình nhân là x1. Từ đó, suy ra vế 1 và vế 2 bằng nhau (điều phải chứng minh).

 

• Các giá trị không bằng nhau:

Nếu tất cả các giá trị không bằng nhau, giá trị trung bình cộng sẽ lớn hơn giá trị trung bình nhân khi n > 1. Khi trường hợp này xảy ra, ta phải chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

 

• Khi n = 2:

Lúc này có 2 giá trị x1 và x2, từ giả thiết trên, ta có x1 - x2 ≠ 0.

 

(điều phải chứng minh)

 

5. Các dạng bài tập của bất đẳng thức Cosi

Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a^2 + b^2 = 2. Hãy chứng minh (a + b)5 >= 16ab căn[(1 + a2)(1 + b2)]

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Bạn hãy chứng minh  8( a + b)( b + c)( c + a) ≤ ( 3 + a)(3 + b)( 3+ c)

Lời giải

 

6. Lời kết

Trên đây là bài viết của Studytienganh về bất đẳng thức Cosi. Hy vọng qua những chia sẻ trên, bạn sẽ nắm được các công thức, hệ quả cũng như một số bài tập áp dụng. Chúc bạn có những giờ học Toán thật hiệu quả và đừng quên theo dõi chúng tôi để cập nhật thêm nhiều kiến thức bổ ích!