Đạo hàm giá trị tuyệt đối của X là gì, công thức tính giá trị tuyệt đối của X
Đạo hàm trị tuyệt đối của X là gì? Công thức tính giá trị tuyệt đối của X có khó không? Đây chính là những câu hỏi mà các em học sinh cần được giải đáp khi bắt đầu học về đạo hàm. Tuy nhiên, nếu các em nắm chắc lý thuyết cơ bản về đạo hàm cũng như công thức tính và bài tập đạo hàm trị tuyệt đối thì dạng toán này không còn là vấn đề khó khăn. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu chi tiết dưới đây nhé!
1. Đạo hàm trị tuyệt đối của X bằng?
Ta cần sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để có thể tính đạo hàm trị tuyệt đối của X
Khi thay giá trị |x| vào, đạo hàm trị tuyệt đối của x là:
y'=x→0 |x+Δx|-|x|x(1)
Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí x=0, bởi vì hàm số y=|x| là hàm số không liên tục và có dạng:
y=[x] nếu x ≥ 0 -x nếu x<0
Đồ thị hàm số y=|x| khi vẽ sẽ giúp các em thấy rõ hơn.
Đạo hàm trị tuyệt đối của X
Chính vì vậy, cho nên, chúng ta không thể thay trực tiếp x=0 vào (1) để tính được, chúng ta cần biến đổi thành một dạng khác để mẫu khác 0 khi thay x=0 vào là được, có nhiều cách làm, ta sẽ làm như sau:
Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì chúng ta biết rằng |x|=x2)
(1) ⇔ limx→0 (x+Δx)2-x2x
Sau đó, ta nhân tử và mẫu cho (x+Δx)2+x2 nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0 .
limx→0 (x+Δx)2-x2(x+Δx)2+x2x(x+Δx)2+x2 (2)
limx→0 (x+Δx)2+x2(x+Δx)2-x2(x+Δx)2-x2x(x+Δx)2+x2limx→0x2+2xx+Δx2-x2x(x+Δx)2+x2
limx→0 2xx+Δx2x(x+Δx)2+x2limx→0 2x+Δx(x+Δx)2+x2
Vì x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay Δx=0 vào (2), ta được:
y=2xx2+x2
y=2x2x2 y=xx2
Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ một số công thức tính nhanh đạo hàm có thể kể đến như:
Hàm số phân thức bậc nhất: f(x)=ax+bcx+df'(x)=ad-bc(cx+d)2
Hàm số phân thức bậc hai: f(x)=ax2+bx+cmx+nf'(x)=amx2+2anx+bn-cm(mx+n)2
Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax3+bx2+cx+df'(x)=3ax2+2bx+c
Hàm số trùng phương: f(x)=ax4+bx2+cf'(x)=4ax3+2bx
Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=u(x)f'(x)=u'(x)2u(x)
Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f'(x)=u'(x)⋅u(x)|u(x)|
2. Bảng đạo hàm cơ bản
Dưới đây là những công thức đạo hàm cơ bản bạn cần phải nhớ:
Quy tắc tính đạo hàm cơ bản
- Đạo hàm của hằng số c: (c)’ = 0
- Đạo hàm của một tổng: (u + v)’ = u’ + v’
- Đạo hàm của một tích: (u.v)’ = u’.v + u.v’
- Đạo hàm u/v: (uv)′=(u′.v–u.v′)/v2
3. Bài tập minh hoạ
Bài tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y=f(x)=|x|
2. y=f(x)=x2-3x+2
Bài giải:
1. Ta có:
y=x khi x ≥ 0 hoặc-x khi x<0
Do đó:
y'=1 khi x>0 hoặc-1 khi x<0
Xét giá trị x=0
f'0+=limx0+ 1=1f'0-=limx0- -1=-1
f'0+f'0- Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
2. Tập xác định: D=R
Ta xét dấu f(x)=x2-3x+2 để có kết quả sau:
y=f(x)=-3x+2 khi x ≤ 1 hay x ≥ 2 hoặc-x2+3x-2 khi 1
Ta tính y':
y'=2x-3 khi x ≤1 hay x ≥ 2 hoặc-2x+3 khi 1
Ta xét y' tại các điểm tiếp xúc của các khoảng:
Tại x=1:
f'1+=x1+ (-2x+3)=1 f'1-=x1- (2x-3)=-1
f'1+f'1- Hàm số không có đạo hàm tại x=1.
Tại x=2 :
f'2+=x2+ (2x-3)=1 f'2-=x2- (-2x+3)=-1
f'2+f'2- Hàm số không có đạo hàm tại x=2.
Kết luận: y'=2x-3 khi x ≤ 1 hay x ≥ 2 hoặc y=-2x+3 khi 1
Dưới đây là toàn bộ thông tin cần thiết về đạo hàm chứa giá trị tuyệt đối của X mà các em cần nắm bắt trong chương trình học lớp 11. Nếu học tốt được những kiến thức này sẽ giúp ích rất nhiều cho các em trong quá trình ôn tập chuẩn bị cho các bài kiểm tra thường xuyên, bài kiểm tra cuối kỳ. Hơn nữa, việc thành thạo kiến thức này sẽ giúp các em có một hành trang vững vàng cho kỳ thi THPT Quốc gia năm lớp 12 trong phần đại số. Chính vì vậy, nếu còn thắc mắc gì, các em hãy để lại bình luận ở bên dưới nhé.
