Công thức cấp số cộng và một số bài tập ví dụ minh họa

Bạn đã biết công thức cấp số cộng chưa? Trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn công thức cấp số cộng và một số bài tập ví dụ minh họa cụ thể nhé.

1. Công thức cấp số cộng

Công thức cấp số cộng

 

Công thức cấp số cộng

 

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n ∈ N*, Un+1 = Un + d

 

Giải thích:

Với d được gọi là công sai

 

Un+1 – Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1; Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC)

 

Khi hiệu số Un+1 – Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng

2. Định nghĩa, tính chất cấp số cộng

 

Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai.

 

 

Định nghĩa, tính chất cấp số cộng

 

Tính chất

• Un+1 – Un = Un+2 – Un+1

• Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

• Số hạng tổng quát: Un = U1 + d(n−1)

• Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:

 

3. Một số ví dụ minh họa cụ thể

 

Ví dụ 1. Cho 1 cấp số cộng (un) biết rằng số hạng đầu u1 = 3; và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đó bằng

A. −6.

B. 6.

C. 3.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1)

• u1 = 3

• n = 2

• u2 = 9

Khi đó: 9 = 3 + d(2 – 1) => d = 6

Kết luận: Công sai là d = 6 => chọn đáp án là B

 

Ví dụ 2. Cho 1 cấp số cộng (un ) biết rằng số hạng đầu u1 = – 6; và số hạng u9 = 50. Hãy tìm công sai của cấp số cộng đó

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1)

• u1 = – 6

• n = 10

• u9 = 50

Ta có – 6 + d(9 – 1) = 50 <=>d = 7

Chọn đáp án C

 

Ví dụ 3. Cho 1 cấp số cộng (un) có công sai d = – 5 và số hạng thứ 6 là 10. Số hạng thứ thứ nhất của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

A. 40

B. 35

C. 30

D.  45

Chọn đáp án B

 

Ví dụ 4. Cho 1 cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 2. Tổng 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là

A. 5

B. 8

C. 9

D. 12

Chọn đáp án C.

 

Ví dụ 5. Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

A. 215 triệu

B. 15,5 triệu

C. 155 triệu

D. 60 triệu

Hướng dẫn giải

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mức lương khi đó kí hiệu (un) (triệu đồng)

Theo đề:

• Quý đầu: u1 = 6

• Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: 

S12=20.(6+15,5)2=215  (triệu đồng)

Chọn đáp án A.

 

Trên đây là những chia sẻ của mình về công thức cấp số cộng và một số ví dụ minh họa, cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của mình nhé.