Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập - Toán học 12

 

Phương trình mặt cầu được viết như thế nào? Làm sao để nhớ nhanh công thức phương trình mặt cầu? Hãy cùng studytienganh tham khảo trong bài viết dưới đây!

 

1. Các dạng phương trình mặt cầu

 

Hình cầu có thể được định nghĩa về mặt toán học là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cho trước một khoảng bằng nhau. Điểm đã cho này được gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách giữa tâm và bất kỳ điểm nào trên bề mặt của hình cầu được gọi là bán kính, được biểu thị bằng r. 

 

Mặt cầu tâm I, bán kính R

 

Giả sử có hai điểm A và B nằm ở hai phía đối diện của mặt cầu. Nếu chúng ta vẽ một đường nối hai điểm này, đi qua tâm, thì khoảng cách lớn nhất được đo bởi nó sẽ được gọi là đường kính của hình cầu, được biểu thị bằng d. 

 

Đường kính chia hình cầu thành hai nửa bằng nhau, được gọi là bán cầu. Nó rất giống với việc cắt một quả bóng thành hai nửa. 

 

Phương trình chính tắc của mặt cầu là: (x - a) ^2 + (y - b) ^2 + (z - c) ^2 = r ^2 với r là bán kính và I(a;b;c) là tâm của mặt cầu.

 

Phương trình tổng quát của mặt cầu là: x ^2 + y ^2 + z ^2 - 2ax - 2by - 2cz +d = 0

 

2. Một số dạng bài tập phương trình mặt cầu thường gặp

 

Có 2 dạng phương trình mặt cầu thường gặp

 

Ví dụ 1: Giả sử mặt cầu có tâm C(3;8;1) và nó đi qua 1 điểm A(4;3;-1). Tìm phương trình của mặt cầu tâm C.

 

Giải:

 

Ta có phương trình chính tắc của mặt cầu như sau:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

 

Mặt cầu đi qua tâm C: (x−3)2+(y−8)2+(z−1)2=r2

 

Mặt cầu đi qua điểm A: (x−3)2+(y−8)2+(z−1)2=r2

(4−3)2+(3−8)2+(−1−1)2=r2

(1)2+(−5)2+(−2)2=r2

1+25+4=r2

30=r2

 

Vậy phương trình của mặt cầu là: (x−3)2+(y−8)2+(z−1)2=30

 

Ví dụ 2: Mặt cầu tâm O có phương trình: x2+y2+z2−2x−4y+8z=15. Tìm bán kính r và tọa độ tâm O của mặt cầu đã cho.

 

Giải:

 

Ta có: x2+y2+z2−2x−4y+8z=15

(x2−2x)+(y2−4y)+(z2+8z)=15

(x2−2x+(-22)2)+(y2−4y)+(z2+8z)=15+(-22)2

(x2−2x+1)+(y2−4y)+(z2+8z)=15+1

(x2−2x+1)+(y2−4y+4)+(z2+8z)=15+1+4

(x2−2x+1)+(y2−4y+4)+(z2+8z+16)=15+1+4+16

(x2−2x+1)+(y2−4y+4)+(z2+8z+16)=36

(x-1)2+(y-2)2+(z+4)2 =36

(x-1)2+(y-2)2+(z-(-4))2 =36

 

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là O(1;2;-4) và bán kính r = 6.

 

3. Bài tập trắc nghiệm có đáp án

 

Sơ đồ tóm tắt công thức liên quan đến phương trình mặt cầu

 

Bài 1: Phương trình mặt cầu có tâm I(11,8,−5) và bán kính = 3 là:

 

A, (𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=9

B, (𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=3

C, (𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=3

D, (𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=9

 

Bài 2: Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm O(8,−15,10) và đi qua A(−14,13,−14):

 

A, (𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=56

B, (𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=1,844

C, (𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=56

D, (𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=1,844

 

Bài 3: Phương trình mặt cầu nào dưới đây có đường kính AB với 𝐴=(9,−6,1) và 𝐵=(−16,−12,2):

 

A, 𝑥+72+(𝑦+9)+𝑧−32=3312

B, 𝑥−252+(𝑦−3)+𝑧+12=1912

C, 𝑥+72−(𝑦+9)−𝑧−32=3312

D, 𝑥−252−(𝑦−3)−𝑧+12=191

 

Bài 4: Viết phương trình mặt cầu tâm C(−6,15,11) tiếp xúc với đường thẳng xy:

 

A, (𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=121

B, (𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=11

C, (𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=121

D, (𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=11

 

Đáp án: 1D 2A 3C 4B

 

Trên đây là phương trình mặt cầu và các bài tập luyện tập rất bổ ích cho các bạn ôn lại kiến thức cơ bản. Chúc các bạn học tập thật tốt và thường xuyên theo dõi studytienganh để cập nhật những kiến thức mới nhất nhé!