Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Lý thuyết & Bài luyện tập (Có đáp án)

Một trong những kiến thức toán lớp 9 quan trọng phải kể đến hệ thức lượng trong tam giác vuông. Mảng kiến thức xuyên suốt trong nhiều bài tập khác nhau và liên quan đến các kiến thức sau này, đặc biệt hơn từ hệ thức lượng có rất nhiều dạng bài tập có thể xuất hiện trong các kì thi nên người học phải ghi nhớ thật lâu và thành thạo nhiều dạng bài. Studytienganh sẽ giúp bạn tìm hiểu đầy đủ ngay trong bài viết dưới đây. Cùng tham khảo nha!

 

1. Lý thuyết đầy đủ

Định lý Pitago

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

 

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

Cho ΔABC, vuông góc tại A, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a,    AH = h thì:

+ BH = c' được xem là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được xem là hình chiếu của AC xuống BC

 

Khi đó, ta có:

  • 1) AB2 = BH.BC tức c2 = a.c'
  •    AC2 = CH.BC tức b2 = a.b'
  • 2) AH2 = CH.BH hay h2 = b'.c'
  • 3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h
  • hệ thức lượng trong tam giác vuông
  • 5) AB2 + AC2 = BC2 hay b2 + c2 = a2 (Định lý Pytago)

 

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a. Định nghĩa

 

hệ thức lượng trong tam giác vuông hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

b. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

 

c. Một số hệ thức cơ bản

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

d. So sánh các tỉ số lượng giác

  • a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì
  • * sinα < sinβ; tanα < tanβ
  • * cosα > cosβ; cotα > cotβ
  • b) sinα < tanα; cosα < cotα

 

Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

 

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

  • b = a.sinB = a.cosC
  • c = a.sinC = a.cosB
  • b = c.tanB = c.cotC
  • c = b.tanB = b.cotC

 

hệ thức lượng trong tam giác vuông

Pitago là nhà toán học thiên tài của nhân loại

 

2. Bài tập luyện tập có lời giải

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 5; AC = 7, BH = x, CH = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

A. 52 = x2(x + y)2                        B. 52 = x(x + y)

C. 72 = y(x + y)                           D. 52 + 72 = (x + y)2

 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 14, BC = 16, BH = x, CH = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

A. 142 = y.16                       B. 16 = x + y

C. xy = 16                           D. A và B đúng

 

Bài 3: Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK. Biết MN = x, MP = y, NK = 2, PK = 6. Chỉ ra một hệ thức sai:

A. 82 = x2 + y2                  B. x2 = 2.8

C. 6.8 = y2                         D. x.y = 2.6

 

Bài 4: Cho tam giác PQR vuông tại P, đường cao PS. Biết PS = 3, SQ = 2, SR = x, PR = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

A. 3x = 2y                           B. y2 = x(x + 2)

C. x2 + 32 = y2                   D. 32 = 2x

 

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = x, AC = y, AH = 2, BC = 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài là:

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6, tan⁡B = 5/12 Độ dài AC là:

A.2                         B. 5√2                                  C.5                                  D.2,5

 

Bài 7: Cho cos⁡α = 0,8. Tính sin α ( biết α là góc nhọn)

A. sin⁡α = 0,6                                       B. sin⁡α = ±0,6

C. sin⁡α = 0,4                                       D. Kết quả khác

 

Bài 8: Tìm  một hệ thức sai:

A.sin⁡ 250 = sin⁡ 700                                                          B. tan⁡ ⁡ 650.cot650 = 1

C.sin⁡ 300 = cos⁡600                                                          D.sin⁡ 750 = cos⁡ 750

 

Bài 9: Cho các biểu thức sau, biểu thức nào âm:

A. sin2 x + cos2 x                                                                 B. sinx – 1

C. cosx + 1                                                                           D. sin⁡ 300

 

Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết AB = 21, AC = 28, BC = 35. Tam giác ABC là tam giác gì?

A. Δ cân tại A                                                                     B. Δ vuông ở A

C. Δ thường                                                                       D. Cả 3 đều sai.

 

Bài 11: Cho ΔABC đều, đường cao AH. Biết HC = 3, độ dài AC và AH là:

A. AC = 3√3; AH = 4                                                           B. AC = 6√3 ; AH = 6

C. AC = 6; AH = 3√3                                                          D. Cả 3 đều sai

 

Bài 12: Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 300. Nếu AC = 8 thì AB bằng:

A. 4                                 B. 4√2                              C. 4√3                                        D. 4√6

 

Đáp án và hướng dẫn giải

 

1. A

2. C

3. D

4. A

5. C

6. A

7. A

8. A

9. B

10. B

11. C

12. B

     

 

Bài 5:

hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có: x2 + y2 = 52 = 25 và xy = 5.2 = 10 (*)

⇒ (x + y)2 = 45 ⇒ x + y = 3√5 ⇒ x = 3√5 - y

Thay vào (*) ta được:

(3√5 - y)y = 10 ⇔ y = √5; y = 2√5

⇒ x = 2√5; x = √5

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là √5.

 

Bài 7:

sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin2 α = 1 - 0,82 = 0,36

⇒ sin⁡α = 0,6

 

Bài 12:

hệ thức lượng trong tam giác vuông

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

Xét tam giác AHC vuông tại H, góc ACH bằng 300 có:

AH = AC.sin⁡300 = 4 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H, góc ABH bằng 450 có:

hệ thức lượng trong tam giác vuông

 

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là phần kiến thức quan trọng bạn phải nắm vững. Sẽ không còn là vấn đề khó khăn nếu bạn chăm chỉ luyện tập đến khi thành thạo các dạng bài trên. Đội ngũ studytienganh chúc bạn sớm chinh phục những đỉnh cao tri thức và thành công trong tương lai.